Nantel Bergeron (York University)
Title: QSym, AntiQSym, SuperQSym et les quotients associés.
´¡²ú²õ³Ù°ù²¹³¦³Ù:ÌýIl y a quelques années, avec François et Jean-Christophe Aval, nous avions étudié le quotient de l’anneau des polynômes en n variables (commutatives) par l’idéal engendré par les polynômes quasisymétriques. Nous avions obtenu comme joli résultat que la dimension de ce quotient est donnée par le nombre de Catalan C_n. Par la suite, nous avions étendu notre étude au cas des polynômes quasisymétriques diagonaux (en deux jeux de variables commutatives) et proposé une conjecture élégante à propos de la série de Hilbert bigraduée du quotient associée. Cette conjecture n’est d’ailleurs toujours pas résolue.
Récemment, notre groupe de recherche à l’institut Fields a amorcé l’extension de ce type de problématique au contexte de variables «anticommutatives». Mike Zabrocki y a énoncé une conjecture affirmant que le quotient des polynômes en deux jeux de variables (l'un commutatif et l'autre anticommutatif) par l’idéal des fonctions diagonalement symétriques admet une description en termes de compositions d’ensembles. Il vaut la peine de souligner que, si on ajoute un second jeu de variables commutatives (pour avoir alors trois jeux de variables), l’étude de l'espace quotient résultant devient liée à la fameuse conjecture delta. Tout ceci est fascinant, mais beaucoup plus difficile à démontrer qu’il nous semblait au départ, et demeure donc non-résolu pour l'instant. Je vais d’abord présenter le résultat que nous avons obtenu pour le cas des polynômes quasisymétriques avec un seul jeu de n variables anticommutatives. Je soulignerai ensuite à quel point la structure de l’idéal concerné est plus intrigante que celle correspondant au cas symétrique. Puis je montrerai comment la description du quotient est très jolie. Enfin, je discuterai du cas «SuperQSym» de deux jeux de variables (l'un commutatif et l'autre anticommutatif). Ce travail en cours est en collaboration avec Kelvin Chan, Yohana Solomon, Farhad Soltani et Mike Zabrocki; tous du groupe de combinatoire algébrique au Fields.